Question

已知函数f（x）=e^x-1-x．
（Ⅰ）求y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）若存在x∈[-1，ln]，满足a-e^x+1+x＜0成立，求a的取值范围；
（Ⅲ）当x≥0时，f（x）≥（t-1）x恒成立，求t的范围．

Answer

（Ⅰ）利用导数的几何意义求切线方程；
（Ⅱ）由a-ex+1+x＜0得a＜ex-1-x，然后求出函数ex-1-x的最小值；
（Ⅲ）将不等式f（x）≥（t-1）x化简为ex-1≥tx，利用图象关系求t的取值范围．
【解析】
（Ⅰ）因为f（1）=e-2，函数的导数为f'（x）=ex-1，所以f'（1）=e-1，
所以函数在（1，e-2）处的切线方程为：y-（e-1）=（e-1）（x-1），即y=（e-1）x．
（Ⅱ）要使a-ex+1+x＜0成立，即a＜ex-1-x，只有求出函数ex-1-x在[-1，ln]的最小值，即可．
设f（x）=ex-1-x，函数的导数为f'（x）=ex-1，由f'（x）=ex-1=0，
解得x=0，当x＞0，f'（x）＞0，此时函数递增．当x＜0，f'（x）＜0，此时函数递减．
所以当x=0时，函数f（x）=ex-1-x取的极小值f（0）=0，同时也是最小值．
所以要使a＜ex-1-x，成立，所以有a＜0．即a的取值范围是a＜0．
（Ⅲ）当x≥0时，f（x）≥（t-1）x，所以ex-1≥tx，
设g（x）=ex-1，则g'（x）=ex，当x≥0时，g'（x）=ex≥1，
．如图：要使ex-1≥tx，成立，则有t≤1，所以t的范围t≤1