Question

已知函数f（x）=a^x-xlna，其中a∈（1，e]
（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；
（Ⅱ）求证：对∀x₁，x₂∈[-1，1]，都有|f（x₁）-f（x₂）|≤e-2．

Answer

（Ⅰ）求出函数函数f（x）的导数为y′的解析式，分别令y′＞0，y′＜0，求得单调区间．
（Ⅱ）对∀x1，x2∈[-1，1]，都有|f（x1）-f（x2）|≤f（x）max-f（x）min．转化为求f（x）max与f（x）min问题．
【解析】
（Ⅰ）∵f（x）=ax-xlna∴f'（x）=axlna-lna=（ax-1）lna，∵a∈（1，e]∴lna＞0
f'（x）＞0可得x＞0
f'（x）=0可得x=0
f'（x）＜0可得x＜0
∴f（x）在（-∞，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增…（4分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）在[-1，0]单调递减，在[0，1]在单调递增∴当x=0时f（x）取得最小值f（x）min=f（0）=1f（x）max=max{f（1），f（-1）}…（6分）
又
设∵∴g（a）在[1，e]上单调递增．又g（1）=0，∴g（a）＞0，a∈[1，e]∴f（1）-f（-1）＞0，∴f（1）＞f（-1）∴在[-1，1]上，f（x）的最大值为f（1）=a-lna…（9分）∴对∀x1，x2∈[-1，1]，都有|f（x1）-f（x2）|≤f（1）-f（0）
又f（1）-f（0）=a-lna-1
即对∀x1，x2∈[-1，1]，都有|f（x1）-f（x2）|≤a-lna-1…（11分）
设h（a）=a-lna-1，a∈[1，e]则∴h（a）在（1，e]上单调递增，∴h（a）max=h（e）=e-2∴a-lna-1≤e-2
综上所述，对∀x1，x2∈[-1，1]，都有|f（x1）-f（x2）|≤e-2…（14分）