Question

如图．四棱锥P-ABCD的底面是矩形，PA⊥底面ABCD．PA=AD=1，AB=．M，N，H分别为AB、PC、PD的中点．
（I）求证：NH∥平面PAB；
（II）求证：MN⊥平面PCD；
（III） 求三棱锥C-DMN的体积．

Answer

（I）证明四边形AHNM是平行四边形，可得MN∥AH，利用线面平行的判定定理证明NH∥平面PAB；
（II）利用线面垂直的判定定理证明AH⊥平面PCD，利用MN∥AH，即可证明MN⊥平面PCD；
（III）求出N到平面ABCD的距离，利用体积公式，即可求三棱锥C-DMN的体积．
（I）证明：连接AH，则
∵N，H分别为PC、PD的中点，
∴NH∥CD，且NH=CD
∵AB∥CD，AB=CD
∴NH∥AB，且NH=AB
∵M为AB的中点
∴NH∥AM，且NH=AM
∴四边形AHNM是平行四边形
∴MN∥AH
∵MN⊄平面PAB，AH⊂平面PAB
∴NH∥平面PAB；
（II）证明：∵四棱锥P-ABCD的底面是矩形，PA⊥底面ABCD
∴CD⊥AD，CD⊥PA
∵AD∩PA=A
∴CD⊥平面PAD
∴CD⊥AH
∵PA=AD，H为PD的中点，
∴AH⊥PD
∵CD∩PD=D
∴AH⊥平面PCD
∵MN∥AH
∴MN⊥平面PCD；
（III）【解析】
过H作HE⊥平面ANCD，则HE=
∵NH∥AB，NH⊄c，AB⊂平面ABCD
∴NH∥平面ABCD
∴N到平面DMN的距离为
∴三棱锥C-DMN的体积为=．