Question

已知数列{a_n}：1，，，，…，，…．
（I）求数列{a_n}的通项公式a_n，并证明数列{a_n}是等差数列；
（II）设，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer

（I）依题意，可求得an+1-an为定值，利用定义判断即可；
（II）由（Ⅰ），结合题意可求得bn=n•2n，利用错位相减法即可求得数列{bn}的前n项和Tn．
【解析】
（I）∵an=1+++…+=1+=，
∴an+1-an=-=，又a1=1，
∴数列{an}是以1为首项，为公差的等差数列；
（II）∵bn===n•2n，
∴Tn=b1+b2+…+bn=1×21+2×22+…+n•2n，①
∴2Tn=1×22+2×23+…+（n-1）×2n+n•2n+1，②
①-②得：-Tn=21+22+…+2n-n•2n+1
=-n•2n+1
=（1-n）•2n+1-2，
∴Tn=（n-1）•2n+1+2．