Question

已知函数（a，b为常数）．
（I）若函数f（x）在x=2处取得极值，求a的值；
（II）若f（x）在区间[-2，1]上是单调递减的，求a的取值范围；
（III）当a＞1时，比较与的大小．

Answer

（I）求出f′（x），由x=2取得极值得到f'（2）=0，求解得到a的值即可；
（Ⅱ）利用导数可知f′（x）≤0（x∈[-2，1]），通过分离参数，再转化为利用导数求一个函数的最值问题即可．
（III）当a＞1时，f'（x）=x2+2x+a＞0恒成立，从而函数在R上是增函数，再利用基本不等式得出，下面就m的取值分类讨论，即可得出结果．
【解析】
（I）f'（x）=x2+2x+a．
因f（x）在x=2取得极值，所以f'（2）=4+4+a=0．解得a=-8．
经检验知当a=-9时，x=2为f（x）为极值点．
（II）∵f'（x）=x2+2x+a，
由已知得x2+2x+a≤0在[-2，1]上恒成立，
∴a≤-x2-2x在[-2，1]上恒成立．
∴a≤-12-2×1=-3．
故a≤-3．
（III）当a＞1时，f'（x）=x2+2x+a＞0恒成立，
∴函数在R上是增函数，
由于，
①当m＞1时，≤，∴≤；
②当0＜m＜1时，
≥，
∴≥．