Question

如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧面ABB₁A₁，ACC₁A₁均为正方形，∠BAC=90°，点D是棱BC的中点．
（Ⅰ）求证：AD⊥平面BCC₁B₁；
（Ⅱ）求证：A₁B∥平面AC₁D；
（Ⅲ）求平面AC₁D与平面ACC₁A₁所成的锐二面角的余弦值．

Answer

（Ⅰ）先证明AA1⊥平面ABC，可得CC1⊥AD，再利用线面垂直的判定定理，即可证明AD⊥平面BCC1B1；
（Ⅱ）利用三角形中位线的性质，证明A1B∥OD，利用线面平行的判定定理证明A1B∥平面AC1D；
（Ⅲ）建立空间直角坐标系，求出平面AC1D与平面ACC1A1的法向量，利用向量的夹角公式，即可求锐二面角的余弦值．
（Ⅰ）证明：因为侧面ABB1A1，ACC1A1均为正方形
所以AA1⊥AC，AA1⊥AB
所以AA1⊥平面ABC  …（1分）
因为AD⊂平面ABC，AA1∥CC1，所以CC1⊥AD  …（2分）
又因为AB=AC，D为BC中点，所以AD⊥BC     …（3分）
因为CC1∩BC=C，所以AD⊥平面BCC1B1；    …（4分）
（Ⅱ）证明：连结A1C，交AC1于点O，连结OD
因为ACC1A1为正方形，所以O为AC1中点
又D为BC中点，所以OD为△A1BC中位线
所以A1B∥OD   …（6分）
因为OD⊂平面AC1D，AB1⊄平面AC1D
所以A1B∥平面AC1D…（8分）
（Ⅲ）【解析】
因为侧面ABB1A1，ACC1A1均为正方形，∠BAC=90°
所以AB，AC，AA1两两互相垂直，如图所示建立直角坐标系A-xyz
设AB=1，则A（0，0，0），
∴=，=（0，1，1）…（9分）
设平面AC1D的法向量为=（x，y，z），则有，
∴，∴x=-y=z
取x=1，得=（1，-1，1）…（10分）
又因为AB⊥平面ACC1A1
所以平面ACC1A1的法向量为…（11分）
∴cos＜＞===       …（12分）
所以，平面AC1D与平面ACC1A1所成的锐二面角的余弦值为…（13分）