Question

如图所示，正方体ABCD-A′B′C′D′的棱长为1，E、F 分别是棱AA'，CC'的中点，过直线E、F的平面分别与棱BB′，DD′交于M、N，设BM=x，x∈[0，1]，给出以下四个命题：
①当且仅当x=0时，四边形MENF的周长最大；
②当且仅当x=时，四边形MENF的面积最小；
③四棱锥C′-MENF的体积V=h（x）为常函数；
④正方体ABCD-A′B′C′D′被截面MENF平分成等体积的两个多面体．
以上命题中正确命题的个数（ ）

A．4
B．3
C．2
D．1

Answer

①判断周长的变化情况．②四边形MENF的对角线EF是固定的，所以要使面积最小，则只需MN的长度最小即可．③求出四棱锥的体积，进行判断．④计算两个多面体的体积关系．
【解析】
①因为EF⊥MN，所以四边形MENF是菱形．当x∈[0，]时，EM的长度由大变小．当x∈[，1]时，EM的长度由小变大．
      所以当x=0或x=1时周长都为最大值．所以①错误．
②连结MN，因为EF⊥平面BDD'B'，所以EF⊥MN，四边形MENF的对角线EF是固定的，所以要使面积最小，则只需MN的长度最小即可，此时当M为棱的中点时，即x=时，此时MN长度最小，对应四边形MENF的面积最小．所以②正确．
③连结C'E，C'M，C'N，则四棱锥则分割为两个小三棱锥，它们以C'EF为底，以M，N分别为顶点的两个小棱锥．因为三角形C'EF的面积是个常数．M，N到平面C'EF的距离是个常数，所以四棱锥C'-MENF的体积V=h（x）为常函数，所以③正确．
④因为E，F是固定的中点，所以当M在运动时，AM=D'N，DN=B'M，所以被截面MENF平分成的两个多面体是完全相同的，所以它们的体积也是相同的．所以④正确．
所以四个命题中②③④是真命题．
所以选B．