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高中数学试题
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如图所示,正方体ABCD-A′B′C′D′的棱长为1,E、F 分别是棱AA',C...
如图所示,正方体ABCD-A′B′C′D′的棱长为1,E、F 分别是棱AA',CC'的中点,过直线E、F的平面分别与棱BB′,DD′交于M、N,设BM=x,x∈[0,1],给出以下四个命题:
①当且仅当x=0时,四边形MENF的周长最大;
②当且仅当x=
时,四边形MENF的面积最小;
③四棱锥C′-MENF的体积V=h(x)为常函数;
④正方体ABCD-A′B′C′D′被截面MENF平分成等体积的两个多面体.
以上命题中正确命题的个数( )
A.4
B.3
C.2
D.1
①判断周长的变化情况.②四边形MENF的对角线EF是固定的,所以要使面积最小,则只需MN的长度最小即可.③求出四棱锥的体积,进行判断.④计算两个多面体的体积关系. 【解析】 ①因为EF⊥MN,所以四边形MENF是菱形.当x∈[0,]时,EM的长度由大变小.当x∈[,1]时,EM的长度由小变大. 所以当x=0或x=1时周长都为最大值.所以①错误. ②连结MN,因为EF⊥平面BDD'B',所以EF⊥MN,四边形MENF的对角线EF是固定的,所以要使面积最小,则只需MN的长度最小即可,此时当M为棱的中点时,即x=时,此时MN长度最小,对应四边形MENF的面积最小.所以②正确. ③连结C'E,C'M,C'N,则四棱锥则分割为两个小三棱锥,它们以C'EF为底,以M,N分别为顶点的两个小棱锥.因为三角形C'EF的面积是个常数.M,N到平面C'EF的距离是个常数,所以四棱锥C'-MENF的体积V=h(x)为常函数,所以③正确. ④因为E,F是固定的中点,所以当M在运动时,AM=D'N,DN=B'M,所以被截面MENF平分成的两个多面体是完全相同的,所以它们的体积也是相同的.所以④正确. 所以四个命题中②③④是真命题. 所以选B.
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考点分析:
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试题属性
题型:选择题
难度:中等
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