Question

如图，已知AB⊥平面ACD，DE∥AB，△ACD是正三角形，AD=DE=2AB，且F是CD的中点．
（Ⅰ）求证：AF∥平面BCE；
（Ⅱ）求证：平面BCE⊥平面CDE；
（Ⅲ）设平面BCE∩平面ACD=l，试问直线l是否和平面ABED平行，说明理由．

Answer

（I）取CE中点P，连接FP，BP，根据三角形中位线性质，我们易得四边形ABPF为平行四边形，则AF∥BP，再由线面平行的判定定理可得AM∥平面BCE；
（Ⅱ）先利用线面垂直的判定定理证明AF⊥平面DCE，再利用面面垂直的判定定理证明平面BCE⊥平面CDE；
（Ⅲ）假设直线l和平面ABED平行，利用线面平行的性质，可得AD∥EB，与AD，EB相交矛盾，故可得结论．
（I）证明：取CE中点P，连接FP，BP
∵F是CD的中点，
∴FP∥DE且FP=DE
∵AB∥DE，AB=DE
∴AB∥FP，AB=FP
∴四边形ABPF为平行四边形
∴AF∥BP  
∵AF⊄平面BCE，BP⊂平面BCE
∴AM∥平面BCE；
（Ⅱ）证明：∵△ACD是正三角形，∴AF⊥CD
∵AB⊥平面ACD，DE∥AB
∴DE⊥平面ACD，
∵AF⊂平面ACD，
∴DE⊥AF
∵CD∩DE=D
∴AF⊥平面DCE
∵BP∥AF，
∴BP⊥平面DCE
∵BP⊂平面BCE
∴平面BCE⊥平面CDE；
（Ⅲ）【解析】
假设直线l和平面ABED平行
∵l⊂平面BCE，平面BCE∩平面ABED=EB
∴l∥EB
同理l∥AD
∴AD∥EB，与AD，EB相交矛盾
∴直线l和平面ABED不平行．