Question

如图所示，正五边形ABCDE的每个顶点对应着一个整数，且这五个整数的和为正数．若其3个相邻顶点对应的整数依次为x、y、z，且y＜0，则要进行如下的操作：把整数x、y、z分别换为x+y，-y，z+y，称其为一次“求正”操作．只要五个整数中有负整数，“求正”操作就要继续进行．
（Ⅰ）若 A，B，C，D，E对应的数分别为3，-2，-2，4，1，写出每一步“求正”操作直到终止；
（Ⅱ）若 A，B，C，D，E对应的数分别为a，-4，5，1，2，并且经过两次“求正”操作后终止，求实数a的值；
（Ⅲ）判断对任意满足条件的数组，“求正”操作是否经过有限次后就一定能终止？说明理由．

Answer

（I）根据“求正”操作的程序可得，操作依次为：3，-2，-2，4，1→1，2，-4，4，1，→1，-2，4，0，1，→
-1，2，2，0，1，→1，1，2，0，0．
（II）分对-4操作和对a-4进行操作两种情况，建立关于a的不等关系，结合a为整数，即可求出所求a的值．
（III）我们把5个数的环列写成横我v，w，x，y，z．不妨设y＜0，经变换后得v，w，x+y，-y，z+y．下面考察5个数的平方和再加上每相邻两数和的平方这一整体，根据变换前后的差小于0，由此可得，这一整体每经过一次变换都要减小，但最初这一整体是正整数，经变换后还是正整数，而正整数是不能无限减小的，所以变换必定有终止的时候．
【解析】
（I）操作依次为：3，-2，-2，4，1→1，2，-4，4，1，→1，-2，4，0，1，→
-1，2，2，0，1，→1，1，2，0，0．
（II）分两种情况，先对-4操作，过程如下：
a，-4，5，1，2→a-4，4，1，1，2．此时，a-4必为负数，继续操作，→4-a，a，1，1，a-2．
于是有，解之得a=2或3．
若对a进行操作，a，-4，5，1，2→-a，a-4，5，1，a+2．此时a-4＜a-2，
故可对a-4进行操作，-a，a-4，5，1，a+2→-4，4-a，a+1，1，a+2．显然无法终止，不符合题意．
综上，所求a的值为2或3．
（III）为方便见，我们把5个数的环列写成横我v，w，x，y，z．不妨设y＜0，经变换后得v，w，x+y，-y，z+y．
考察5个数的平方和再加上每相邻两数和的平方这一整体，那么变换前后的差是：
{v2+w2+（x+y）2+（-y）2+（z+y）2+（v+w）2+（w+x+y）2+x2+z2+（z+y+v）2]-{v2+w2+（x+y）2+y2+（z+y）2+（v+w）2+（w+x）2+x2+z2+（z+v）2]=2y（v+w+x+y+z）＜0，
由此可得，这一整体每经过一次变换都要减小，但最初这一整体是正整数，经变换后还是正整数，
而正整数是不能无限减小的，所以变换必定有终止的时候．
即“求正”操作经过有限次后就一定能终止．