Question

在数列{a_n}中，若对任意的n∈N^*，都有（t为常数），则称数列{a_n}为比等差数列，t称为比公差．现给出以下命题：
①等比数列一定是比等差数列，等差数列不一定是比等差数列；
②若数列{a_n}满足，则数列{a_n}是比等差数列，且比公差；
③若数列{c_n}满足c₁=1，c₂=1，c_n=c_n-1+c_n-2（n≥3），则该数列不是比等差数列；
④若{a_n}是等差数列，{b_n}是等比数列，则数列{a_nb_n}是比等差数列．
其中所有真命题的序号是（ ）
A．①②
B．②③
C．③④
D．①③

Answer

①由等比数列的特点，代入可知满足新定义，若等差数列的公差d=0时满足题意，当d≠0时，不是比等差数列，可知正确；②代入新定义验证可知，不满足；③由递推公式计算数列的前4项，可得，故该数列不是比等差数列；④可举{an}为0列，则数列{anbn}为0列，显然不满足定义．
【解析】
①若数列{an}为等比数列，且公比为q，则，为常数，故等比数列一定是比等差数列，
若数列{an}为等差数列，且公差为d，当d=0时，，为常数，是比等差数列，
当d≠0时，不为常数，故不是比等差数列，故等差数列不一定是比等差数列，故正确；
②若数列{an}满足，则=-不为常数，故数列{an}不是比等差数列，故错误；
③若数列{cn}满足c1=1，c2=1，cn=cn-1+cn-2（n≥3），可得c3=2，c4=3，故，
显然，故该数列不是比等差数列，故正确；
④若{an}是等差数列，{bn}是等比数列，可举{an}为0列，则数列{anbn}为0列，显然不满足定义，即数列{anbn}不是比等差数列，故错误．
故答案为：D