Question

已知椭圆的离心率，原点到过A（a，0），B（0，-b）两点的直线的距离是．
（1）求椭圆的方程；
（2）已知直线y=kx+1（k≠0）交椭圆于不同的两点E，F，且E，F都在以B为圆心的圆上，求k的取值范围．

Answer

（1）直线AB的方程为：bx-ay-ab=0，利用原点到过A（a，0），B（0，-b）两点的直线的距离是，可得，利用椭圆的离心率，可得，从而可求b2=4，
a2=16，故可求椭圆的方程；
（2）由题意，B（0，-2），设E（x1，y1），F（x2，y2），由E，F在圆上，得x12+（y1+2）2=x22+（y2+2）2，由E，F在直线y=kx+1得y1=kx1+1，y2=kx2+1，代入可得（1+k2）（x1+x2）（x1-x2）+6k（x1-x2）=0，从而可得x1+x2=；将y=kx+1代入，得（1+4k2）x2+8kx-12=0，由根与系数的关系，可得x1+x2=，从而可求得k的值．
【解析】
（1）直线AB的方程为：bx-ay-ab=0
∵原点到过A（a，0），B（0，-b）两点的直线的距离是．
∴
∴①
∵椭圆的离心率，
∴
∴a2=4b2②
②代入①，可得b2=4，
∴a2=16
∴椭圆的方程为；
（2）由题意，B（0，-2）
设E（x1，y1），F（x2，y2），由E，F在圆上，得x12+（y1+2）2=x22+（y2+2）2…③，
由E，F在直线y=kx+1得y1=kx1+1，y2=kx2+1，
代入③式，可得（1+k2）（x1+x2）（x1-x2）+6k（x1-x2）=0，
因为E，F为直线上不同两点，所以x1≠x2，所以（1+k2）（x1+x2）+6k=0，
即x1+x2=④
又由E，F在椭圆上，将y=kx+1代入，得（1+4k2）x2+8kx-12=0，
由根与系数的关系，x1+x2=…⑤，
将④⑤两式联立求解得k=0或k=±