Question

已知数列{a_n}，a₁=1，a_2n=a_n，a_4n-1=0，a_4n+1=1（n∈N^*）．
（1）求a₄，a₇；
（2）是否存在正整数T，使得对任意的n∈N^*，有a_n+T=a_n．

Answer

（1）利用a1=1，a2n=an，a4n-1=0，即可求a4，a7；
（2）假设存在正整数T，使得对任意的n∈N*，有an+T=an，则存在无数个正整数T，使得对任意的n∈N*，有an+T=an．对T分奇数、偶数进行讨论，即可得到结论．
【解析】
（1）∵a1=1，a2n=an，a4n-1=0，
∴a4=a2=a1=1；a7=a4×2-1=0．
（2）假设存在正整数T，使得对任意的n∈N*，有an+T=an．
则存在无数个正整数T，使得对任意的n∈N*，有an+T=an．
设T为其中最小的正整数．
若T为奇数，设T=2t-1（t∈N*），则a4n+1=a4n+1+T=a4n+1+2T=a4（n+t）-1=0，与已知a4n+1=1矛盾．
若T为偶数，设T=2t（t∈N*），则a2n+T=a2n=an，
而a2n+T=a2n+2t=an+t，从而an+t=an．
而t＜T，与T为其中最小的正整数矛盾．
综上，不存在正整数T，使得对任意的n∈N*，有an+T=an．…（13分）