Question

如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，平面PBC⊥底面ABCD，且
PB=PC=．
（Ⅰ）求证：AB⊥CP；
（Ⅱ）求点B到平面PAD的距离；
（Ⅲ）设面PAD与面PBC的交线为l，求二面角A-l-B的大小．

Answer

（Ⅰ）利用面面垂直的性质证明AB⊥平面PBC，从而可证AB⊥CP；
（Ⅱ）取BC中点O，再取AD中点M，过点O作OH⊥PM，则OH⊥面ADP，利用等面积，即可求点B到平面PAD的距离；
（Ⅲ）证明∠MPO就是二面角A-l-B的平面角，从而可求二面角A-l-B的大小．
（Ⅰ）证明：∵底面ABCD是正方形，∴AB⊥BC，
又平面PBC⊥底面ABCD，平面PBC∩平面ABCD=BC
∴AB⊥平面PBC
又PC⊂平面PBC
∴AB⊥CP  …（3分）
（Ⅱ）【解析】
∵BC∥AD，BC⊄面PAD，AD⊂面PAD，
∴BC∥面PAD
取BC中点O，再取AD中点M
∵AD⊥MO，AD⊥MP，MO∩MP=P
∴AD⊥面MOP，
∵AD⊂面ADP
∴面ADP⊥面MOP
过点O作OH⊥PM，则OH⊥面ADP
在Rt△MPO中，由OH•PM=PO•MO，可得OH=
∴点B到平面PAD的距离为．  …（7分）
（Ⅲ）【解析】
∵BC∥AD，BC⊄面PAD，AD⊂面PAD，
∴BC∥面PAD
∵面PAD∩面PBC=l，BC⊂面PBC
∴BC∥l
∴OP⊥l，MP⊥l
∴∠MPO就是二面角A-l-B的平面角．
∴tan∠MPO==1
∴∠MPO=45°
∴二面角A-l-B的大小为45°．…（12分）