Question

已知曲线C：xy=1，过C上一点A_n（x_n，y_n）作一斜率为k_n=的直线交曲线C于另一点A_n+1（x_n+1，y_n+1），点列{A_n}的横坐标构成数列{x_n}，其中x₁=．
（I）求x_n与x_n+1的关系式；
（II）令b_n=+，求证：数列{b_n}是等比数列；
（III）若c_n=3ⁿ-λb_n（λ为非零整数，n∈N*），试确定λ的值，使得对任意n∈N*，都有c_n+1＞c_n成立．

Answer

（I）由题意可得kn=-，利用kn=，即可得到xn与xn+1的关系式；
（II）由bn=+，可得bn+1=-2（+），从而可得数列{bn}是等比数列．
（III）cn+1＞cn成立等价于cn+1-cn=2×3n+3λ×（-2）n＞0恒成立，即恒成立，对n讨论，即可得到结论．
（I）【解析】
过C：xy=1上一点An（xn，yn）作斜率为kn的直线交C于另一点An+1，则kn=-
∵kn=，∴-=
∴xnxn+1=-xn+2；
（II）证明：∵bn=+，∴bn+1=+=+=-2（+），
∵x1=，∴b1=-2
∴数列{bn}是等比数列．
（III）【解析】
由（II）知，，则cn+1＞cn成立等价于cn+1-cn=2×3n+3λ×（-2）n＞0恒成立
即恒成立
①n为奇数时，，∴，∴λ＜1；
②n为偶数时，，∴
∴
∵λ为非零整数
∴λ=-1．
∴λ=-1，对任意n∈N*，都有cn+1＞cn成立．