Question

在如图所示的几何体中，面CDEF为正方形，面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AB=2BC，∠ABC=60°，AC⊥FB．
（Ⅰ）求证：AC⊥平面FBC；
（Ⅱ）线段ED上是否存在点Q，使平面EAC⊥平面QBC？证明你的结论．

Answer

（I）利用余弦定理和勾股定理的逆定理可得AC⊥BC，再利用已知AC⊥FB和线面垂直的判定定理即可证明；
（II）通过建立空间直角坐标系，利用两个平面的法向量是否垂直即可．
（Ⅰ）证明：∵AB=2BC，∠ABC=60°，
在△ABC中，由余弦定理可得AC2=AB2+BC2-2AB•BCcos60°=3BC2，
∴AC2+BC2=4BC2=AB2，∴∠ACB=90°．
∴AC⊥BC．
又∵AC⊥FB，FB∩BC=B，
∴AC⊥平面FBC．
（Ⅱ）
线段ED上不存在点Q，使平面EAC⊥平面QBC．
证明如下：
因为AC⊥平面FBC，所以AC⊥FC．
因为CD⊥FC，所以FC⊥平面ABCD．
所以CA，CF，CB两两互相垂直，如图建立的空间直角坐标系C-xyz．
在等腰梯形ABCD中，可得 CB=CD．
设BC=1，所以，．
所以，．
设平面EAC的法向量为=（x，y，z），则，
所以取z=1，得=（0，2，1）．
假设线段ED上存在点Q，设，所以．
设平面QBC的法向量为=（a，b，c），则
所以取c=1，得=．
要使平面EAC⊥平面QBC，只需，
即 ，此方程无解．
所以线段ED上不存在点Q，使平面EAC⊥平面QBC．