Question

已知函数f（x）=xlnx，（x＞0，且x≠1）
（Ⅰ）求函数的单调区间；
（Ⅱ）若对任意的n∈N₊，都有a_n＞0，且a₁+a₂+…+a₂₀₁₃=2013e（e为自然对数的底），求f（a₁）+f（a₂）+…+f（a₂₀₁₃）的最小值．

Answer

（Ⅰ）先求定义域，然后求导数，利用导数求单调区间．
（Ⅱ）构造新函数，利用导数求函数的最值．
【解析】
（Ⅰ），所以函数的定义域为（0，1）∪（1，+∞）．
当时，r'（x）＞0．r（x）单调递增；当和x∈（1，+∞）时，r'（x）＜0，r（x）单调递减．
（Ⅱ）当a1=a2=…=a2013=e时，f（a1）+f（a2）+…+f（a2013）取得最小值2013e，
    下面给予证明：
   函数f（x）=xlnx在x=e处的切线方程为y=2x-e
  令g（x）=f（x）-（2x-e）=xlnx-2x+e，g'（x）=lnx-1，
  则函数y=g（x）在x∈（0，e）单调递减，在x∈（e，+∞）单调递增
  当x=e时，y=g（x）取得最小值为0，即f（x）≥2x-e恒成立．
  故f（a1）+f（a2）+…+f（a2013）≥2（a1+a2+…+a2013）-2013e≥2013e
   当且仅当a1=a2=…=a2013=e取得最小值．此时f（a1）+f（a2）+…+f（a2013）取得最小值2013e．