Question

正方体．ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为l，点F、H分别为为A₁D、A₁C的中点．
（Ⅰ）证明：A₁B∥平面AFC；
（Ⅱ）证明：B₁H⊥平面AFC．

Answer

（I）连BD交AC于点E，连EF，可得EF是△A1BD的中位线，得EF∥A1B，利用线面平行的判定定理即可证出A1B∥平面AFC；
（II）连结B1C，根据正方体的对角面A1B1CD为矩形，得A1C的中点H也是B1D的中点，因此问题转化为证明B1D⊥平面AFC．利用正方体的性质，结合线面垂直的判定与性质证出AF⊥B1D且AE⊥B1D，最后根据AF、AE是平面AFC内的相交直线，可得
B1D⊥平面AFC，由此得到B1H⊥平面AFC．
【解析】
（Ⅰ）连结BD交AC于点E，则E为BD的中点，连结EF
∵EF是△A1BD的中位线，∴EF∥A1B
∵EF⊄平面AFC，A1B⊂平面AFC，
∴A1B∥平面AFC；
（II）连结B1C，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，四边形A1B1CD是矩形
∵矩形A1B1CD中，H为A1C的中点，∴H也是B1D的中点
因此，要证明B1H⊥平面AFC，即证明B1D⊥平面AFC
∵正方体ABCD-A1B1C1D1中，A1B1⊥平面AA1C1C，AF⊂平面AA1C1C，∴AF⊥A1B1
又∵正方形AA1C1C中，AF⊥A1D，A1B1∩A1D=A1，
∴AF⊥平面A1B1CD，结合B1D⊂平面A1B1CD，得AF⊥B1D
同理可证：AE⊥B1D，
∵AF、AE是平面AFC内的相交直线，
∴B1D⊥平面AFC，即B1H⊥平面AFC