不妨设||=1,则||=||=λ.令=,=,以OA、OB为临边作平行四边形OACB,则平行四边形OACB
为菱形.故有∠OAB=∠OBA=θ,与的夹角,即与的夹角,等于π-θ,且0<θ<.△OAC中,由
余弦定理解得 cos2θ=1-.再由 ≤λ≤1求得cos2θ的范围,从而求得θ的范围,即可得到与的
夹角的取值范围.
【解析】
∵,
不妨设||=1,则||=||=λ.
令=,=,以OA、OB为邻边作平行四边形OACB,
则平行四边形OACB为菱形.
故有△OAB为等腰三角形,故有∠OAB=∠OBA=θ,
且0<θ<.
而由题意可得,与的夹角,即与 的夹角,
等于π-θ.
△OAC中,由余弦定理可得 OC2=1=OA2+AC2-2OA•AC•cos2θ=λ2+λ2-2•λ•λcos2θ,
解得 cos2θ=1-.
再由 ≤λ≤1,可得 ≤≤,∴-≤cos2θ≤,∴<2θ≤,∴<θ≤,
故 ≤π-θ<,即与的夹角π-θ的取值范围是[,).