Question

如图，直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠BCD=90°，BC=CD=，AD=BD：EC丄底面ABCD，FD丄底面ABCD 且有EC=FD=2．
（I ）求证：AD丄BF；
（II ）若线段EC的中点为M，求直线AM与平面ABEF所成角的正弦值．

Answer

（I）梯形ABCD中，根据勾股定理和等腰三角形的判定，可得∠ADB=90°即AD⊥BD，结合AD⊥DF利用线面垂直的判定定理，证出AD⊥平面BDF，进而可得AD丄BF；
（II）过点M作MN⊥BE，垂足为N，连接NA，AC．利用线面垂直的判定与性质，证出MN⊥平面ABEF，从而得到∠MAN就是直线AM与平面ABEF所成角．Rt△BCE中利用相似算出MN=，分别在Rt△ABC、Rt△ACM中运用勾股定理，算出AM=．最后在Rt△MAN中利用正弦的定义，即可算出直线AM与平面ABEF所成角的正弦值等于．
【解析】
（I）∵BC⊥DC，BC=CD=，
∴BD==2，且△BCD是等腰直角三角形，∠CDB=∠CBD=45°
∵平面ABCD中，AB∥DC，∴∠DBA=∠CBD=45°
∵AD=BD，可得∠DBA=∠BAD=45°
∴∠ADB=90°，即AD⊥BD
∵FD丄底面ABCD，AD⊂底面ABCD，∴AD⊥DF
∵BD、DF是平面BDF内的相交直线，∴AD⊥平面BDF
∵BF⊂平面BDF，∴AD丄BF
（II）如图，过点M作MN⊥BE，垂足为N，连接NA，AC
∵AB⊥BC，AB⊥EC，BC∩EC=E，∴AB⊥平面BEC
∵MN⊂平面BEC，∴AB⊥MN，
结合MN⊥BE且BE∩AB=B，可得MN⊥平面ABEF
∴AN是AM在平面ABEF内的射影，可得∠MAN就是直线AM与平面ABEF所成角
∵Rt△ABC中，AC==，∴Rt△ACM中，AM==．
∵△EMN∽△EBC，∴，可得MN=
因此，在Rt△MAN中，sin∠MAN==
即直线AM与平面ABEF所成角的正弦值是．