Question

已知F为抛物线C：y²=4x焦点，其准线交x轴于点M，点N是抛物线C上一点
（Ⅰ）如图1，若MN的中垂线恰好过焦点F，求点N的y轴的距离
（Ⅱ）如图2，已知直线l交抛物线C于点P，Q，若在抛物线C上存在点R，使FPRQ为平行四边形，试探究直线l是否过定点？并说明理由．

Answer

（I）由中垂线的性质可得|NF|=|MF|=2，利用抛物线的定义可得xN+1=2，得到xN=1．即可求出点N到y轴的距离．
（II）设P（x1，y1），Q（x2，y2），直线l：x=my+b．由FPRQ为平行四边形，可得．利用向量相等即可得出坐标之间的关系，再将直线l的方程与抛物线的方程联立得到根与系数的关系，从而得出定点．
【解析】
（I）∵MN的中垂线恰好经过焦点F，∴|NF|=|MF|=2，
∴xN+1=2，
∴xN=1．即点N到y轴的距离为1．
（II）焦点F（1，0），
设P（x1，y1），Q（x2，y2），直线l：x=my+b．
∵FPRQ为平行四边形，∴．
∴x1+x2=xR+1，y1+y2=yR．
∵点R在抛物线上，∴，即．
又点P，Q在抛物线上，∴y1y2=-2．由得y2-4my-4b=0，∴y1y2=-4b．∴-4b=-2，解得．
∴直线l经过定点