Question

已知数列{a_n+1}满足a_n+1=2a_n-1且n，数列{b_n}的前n项和为S_n．
（1）求数列{a_n}的通项a_n； （2）求S_n；
（3）设f（x）=（x-2ⁿ+1）ln（x-2ⁿ+1）-x（n∈N^*），求证：f（x）≥．

Answer

（1）由an+1=2an-1得an+1-1=2（an-1），且a1-1=2由此能求出an．
（2）由an=2n+1，知，由此能够求出Sn．
（3）由，知当x=2n时，f'（x）=0；x＞2n时，f'（x）＞0，由此能够证明f（x）≥成立．
【解析】
（1）由an+1=2an-1得an+1-1=2（an-1），且a1-1=2，∴数列{an-1}是以2为首项，2为公比的等比数列，an-1=2•2n-1，∴an=2n+1．
（2）由（1）知an=2n+1，∴，．
（3）证明：，
当x=2n时，f'（x）=0；x＞2n时f'（x）＞0，f（x）在（2n，+∞）上递增；2n-1＜x＜2n时，∴f（x）≥成立．