Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，S_n+1=4a_n-2，且a₁=2．
（Ⅰ） 求证：对任意n∈N^*，a_n+1-2a_n为常数C，并求出这个常数C；
（Ⅱ）如果，求数列{b_n}的前n项的和．

Answer

（Ⅰ） 利用Sn+1=4an-2，与Sn=4an-1-2，推出an+1-2an=（a2-a1）•2n-1．
通过a2+a1=4a1-2，a1=2，推出a2=4．得到C=0．
（Ⅱ）利用，求出数列{bn}的通项公式，然后求出数列前n项的和．
【解析】
（Ⅰ）∵Sn+1=4an-2，且Sn=4an-1-2，相减得：an+1=4（an-an-1），（3分）
an+1-2an=2（an-an-1），∴an+1-2an=（a2-2a1）•2n-1．
又a2+a1=4a1-2，∵a1=2，∴a2=4．∴an+1-2an=0．
∴C=0．…（6分）
（Ⅱ）∵，
∴=．
，
所以数列{bn}是等比数列，
∴=…（12分）