Question

已知数列{a_n}满足：a₁=1，a₂=2，且a_n+2=（2+cosnπ）（a_n-1）+3，n∈N^*．
（1）求通项公式a_n；
（2）设{a_n}的前n项和为S_n，问：是否存在正整数m、n，使得S_2n=mS_2n-1？若存在，请求出所有的符合条件的正整数对（m，n），若不存在，请说明理由．

Answer

（1）确定a1，a3，…，a2n-1，…是首项为1，公差为2的等差数列；a2，a4，…，a2n，…是首项为2，公比为3的等比数列，从而可得通项公式an；
（2）由（1）先求出S2n，S2n-1的表达式，若存在正整数m、n，使得S2n=mS2n-1，则m=≤3，再分类讨论，即可求得结论．
【解析】
（1）当n是奇数时，cosnπ=-1；当n是偶数时，cosnπ=1．
所以，当n是奇数时，an+2=an+2；当n是偶数时，an+2=3an． …（2分）
又a1=1，a2=2，，所以a1，a3，…，a2n-1，…是首项为1，公差为2的等差数列；
a2，a4，…，a2n，…是首项为2，公比为3的等比数列．        …（4分）
所以，an=．          …（6分）
（2）由（1），得S2n=（a1+a3+…+a2n-1）+（a2+a4+…+a2n）=3n+n2-1，
S2n-1=S2n-a2n=3n+n2-1-2×3n-1=3n-1+n2-1．        …（8分）
所以，若存在正整数m、n，使得S2n=mS2n-1，则m==1+≤1+=3． …（9分）
显然，当m=1时，S2n=3n+n2-1≠1×3n-1+n2-1=S2n-1；
当m=2时，由S2n=2S2n-1，整理得3n-1=n2-1．
显然，当n=1时，31-1≠12-1；
当n=2时，32-1=22-1，
所以（2，2）是符合条件的一个解．                  …（11分）
当n≥3时，=2n2-4n+3=（n-2）2+n2-1＞n2-1．       …（12分）
当m=3时，由S2n=3S2n-1，整理得n=1，
所以（3，1）是符合条件的另一个解．
综上所述，所有的符合条件的正整数对（m，n），有且仅有（3，1）和（2，2）两对． …（14分）