Question

已知函数f（x）=（x²+bx+c）e^x在点P（0，f（0））处的切线方程为2x+y-1=0．
（1）求b，c的值；
（2）求函数f（x）的单调区间；
（3）若方程f（x）=m恰有两个不等的实根，求m的取值范围．

Answer

（1）由函数f（x）=（x2+bx+c）ex在点P（0，f（0））处的切线方程为2x+y-1=0，可求得f（0）的值，求导，令f′（0）=-2，解方程组可求得b，c的值；（2）令导函数f′（x）=[0，求解，分析导函数的符号，可知函数的单调区间；（3）方程f（x）=m恰有两个不等的实根，转化为求函数的极值和单调性，从而可知函数图象的变化情况，可求得m的取值范围．
【解析】
（1）f′（x）=[x2+（b+2）x+b+c]•ex
∵f（x）在点P（0，f（0））处的切线方程为2x+y-1=0．
∴
（2）由（1）知：f（x）=（x2-3x+1）•ex，f′（x）=（x2-x-2）•ex=（x-2）（x+1）•ex

∴f（x）的单调递增区间是：（-∞，-1）和（2，+∞）f（x）的单调递减区间是：（-1，2）
（3）由（2）知：，f（x）min=f（2）=-e2
但当x→+∞时，f（x）→+∞；又当x＜0时，f（x）＞0，
则当且仅当时，方程f（x）=m恰有两个不等的实根．