Question

如图，过曲线C：y=e^-x上一点P（0，1）做曲线C的切线l交x轴于Q₁（x₁，0）点，又过Q₁做x轴的垂线交曲线C于P₁（x₁，y₁）点，然后再过P₁（x₁，y₁）做曲线C的切线l₁交x轴于Q₂（x₂，0），又过Q₂做x轴的垂线交曲线C于P₂（x₂，y₂），…，以此类推，过点P_n的切线l_n与x轴相交于点Q_n+1（x_n+1，0），再过点Q_n+1做x轴的垂线交曲线C于点P_n+1（x_n+1，y_n+1）（n=1，2，3，…）．
（1）求x₁、x₂及数列{x_n}的通项公式；
（2）设曲线C与切线l_n及垂线P_n+1Q_n+1所围成的图形面积为S_n，求S_n的表达式；
（3）若数列{S_n}的前n项之和为T_n，求证：（n∈N⁺）．

Answer

（1）先求出导函数进而求出切线的斜率，再把1，2代入就可求出求x1、x2的值．求出点Pn的切线ln的方程即可求出及数列{xn}的通项公式；
（2）直接利用定积分来求Sn的表达式即可；
（3）利用（2）的结论先求出数列{Sn}的前n项之和为Tn，再把所要证明的结论转化为用数学归纳法证明en+1＞（e-1）n+e即可
【解析】
（1）y′=-e-x，设ln的斜率为kn，则
∴l的方程为：y=-x+1，令y=0得x1=1，∴y1=-e-1P1（1，e-1），
∴l1的方程为：y-e-1=-e-1（x-1），令y=0得x2=2，
一般地，ln的方程为：，由Qn+1（xn+1，0）∈ln
得：xn+1-xn=1，∴xn=n （4分）
（2）
=（8分）
（3），
∴要证：，只要证明：，
即只要证明en+1＞（e-1）n+e（10分）
证明；数学归纳法：
（一）当n=1时，显然（e-1）2＞0⇔e2＞2e-1⇔e2＞（e-1）+e成立
（二）假设n=k时，有ek+1＞（e-1）k+e
当n=k+1时，ek+2=e•ek+1＞e[（e-1）k+e]
而e[（e-1）k+e]-[（e-1）（k+1）+e]=（e-1）2（k+1）＞0
∴ek+2=e•ek+1＞e[（e-1）k+e]＞（e-1）（k+1）+e
这说明n=k+1时不等式也成立，由（一）（二）知对一切正整数n都成立．