Question

已知数列{log₂（a_n-1）}n∈N^*）为等差数列，且a₁=3，a₃=9．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）证明++…+＜1．

Answer

（1）设等差数列{log2（an-1）}的公差为d．根据a1和a3的值求得d，进而根据等差数列的通项公式求得数列{log2（an-1）}的通项公式，进而求得an．
（2）把（1）中求得的an代入++…+中，进而根据等比数列的求和公式求得++…+=1-原式得证．
（I）【解析】
设等差数列{log2（an-1）}的公差为d．
由a1=3，a3=9得2（log22+d）=log22+log28，即d=1．
所以log2（an-1）=1+（n-1）×1=n，即an=2n+1．
（II）证明：因为==，
所以++…+=+++…+==1-＜1，
即得证．