Question

已知函数f（x）=（x²-a）e^x．
（I）若a=3，求f（x）的单调区间；
（II）已知x₁，x₂是f（x）的两个不同的极值点，且|x₁+x₂|≥|x₁x₂|，若恒成立，求实数b的取值范围．

Answer

（I）由题意把a=3代入解析式，然后对函数求导，令导数大于0 解出函数的单调递增区间，在令导数小于0解出的为函数的单调区间；
（II）由题意求出函数的导函数令导函数为0，再有，得到关于a的函数式子g（a），判断该函数的极值与最值即可．
【解析】
（1）∵a=3，∴f（x）=（x2-3）ex，f'（x）=（x2+2x-3）ex=0⇒x=-3或1
令f'（x）＞0，解得x∈（-∞，-3）∪（1，+∞）令f'（x）＜0，解得x∈（-3，1），∴f（x）的增区间为（-∞，-3），（1，+∞）；减区间为（-3，1），
（2）f'（x）=（x2+2x-a）ex=0，即x2+2x-a=0
由题意两根为x1，x2，∴x1+x2=-2，x1•x2=-a，又∵|x1+x2|≥|x1x2|∴-2≤a≤2
且△=4+4a＞0，∴-1＜a≤2
设或a=0

a （-1，0） 2
g'（a） + - +
g（a） ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ g（2）

又g（0）=0，g（2）=6e2-8，
∴g（a）max=6e2-8，
∴b＞6e2-8