Question

如图，椭圆长轴端点为A，B，O为椭圆中心，F为椭圆的右焦点，且，．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）记椭圆的上顶点为M，直线l交椭圆于P，Q两点，问：是否存在直线l，使点F恰为△PQM的垂心？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）设出椭圆的方程，根据题意可知c，进而根据求得a，进而利用a和c求得b，则椭圆的方程可得．
（2）假设存在直线l交椭圆于P，Q两点，且F恰为△PQM的垂心，设出P，Q的坐标，利用点M，F的坐标求得直线PQ的斜率，设出直线l的方程，与椭圆方程联立，由韦达定理表示出x1+x2和x1x2，进而利用求得m．
解．（1）如图建系，设椭圆方程为，则c=1
又∵即（a+c）•（a-c）=1=a2-c2，∴a2=2
故椭圆方程为
（2）假设存在直线l交椭圆于P，Q两点，且F恰为△PQM的垂心，则
设P（x1，y1），Q（x2，y2），∵M（0，1），F（1，0），故kPQ=1，
于是设直线l为y=x+m，由得3x2+4mx+2m2-2=0
∵又yi=xi+m（i=1，2）
得x1（x2-1）+（x2+m）（x1+m-1）=0即2x1x2+（x1+x2）（m-1）+m2-m=0由韦达定理得
解得或m=1（舍）经检验符合条件