Question

设定义在R上的函数f（x）=ax³+bx²+cx，当x=-时，f（x）取得极大值，并且函数y=f′（x）的图象关于y轴对称．
（Ⅰ）求f（x）的表达式；
（Ⅱ）若曲线C对应的解析式为，求曲线过点P（2，4）的切线方程．

Answer

（1）因为函数图象关于y轴对称，得到函数是偶函数即f（x）=f（-x），得到b=0然后代入解析式中，又因为当x=-时，f（x）取得极大值得f（-）=，f′（）=0解出a与b得到f（x）的解析式；
（2）设切点为（x，y），表示出切线方程把P（2，4）代入切线方程得切点坐标，代入切线方程即可．
【解析】
（1）∵f′（x）=3ax2+2bx+c为偶函数，∴f（x）=f（-x），
∴3ax2-2bx+c=3ax2+2bx+c，
∴2bx=0得到b=0，
∴f（x）=ax3+cx
又当x=-时，f（x）取得极大值得
f（-）=，f′（）=0
∴解得，
∴f（x）=x3-x
（2），
设切点为（x，y），则
切线方程为：，
代入点P（2，4）化简得：x3-3x2+4=0，解得x=-1，2，
所以切线方程为：x-y+2=0和4x-y-4=0．