Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，对一切n∈N^*，点都在函数的图象上．
（Ⅰ）求a₁，a₂，a₃及数列{a_n}的通项公式a_n；
（Ⅱ）将数列{a_n}依次按1项、2项、3项、4项循环地分为（a₁），（a₂，a₃），（a₄，a₅，a₆），（a₇，a₈，a₉，a₁₀）；（a₁₁），（a₁₂，a₁₃），（a₁₄，a₁₅，a₁₆），（a₁₇，a₁₈，a₁₉，a₂₀）；（a₂₁），…，分别计算各个括号内各数之和，设由这些和按原来括号的前后顺序构成的数列为{b_n}，求b₅+b₁₀₀的值；
（Ⅲ）令（n∈N^*），求证：2≤g（n）＜3．

Answer

（I）由题意因为点在函数的图象上，所以可以求出，由此猜想：an=2n，利用数学归纳法即可求证；
（II）因为an=2n（n∈N*），所以数列{an}依次按1项、2项、3项、4项循环地分为（2），（4，6），（8，10，12），（14，16，18，20）；（22），（24，26），（28，30，32），（34，36，38，40）；（42），每一次循环记为一组．由于每一个循环含有4个括号，故b100是第25组中第4个括号内各数之和．由分组规律知，由各组第4个括号中所有第1个数组成的数列是等差数列，且公差为20，同理，由各组第4个括号中所有第2个数、所有第3个数、所有第4个数分别组成的数列也都是等差数列，且公差均为20，利用等差数列的通项公式即可；
（III）由（I）中知an=2n，∴，当n=1时，f（1）=2∈[2，3）；n≥2时，，利用二项式定理进行适当放缩即可得证．
【解析】
（I）因为点在函数的图象上，
故，所以．令n=1，得，所以a1=2；
令n=2，得，a2=4；令n=3，得，a3=6．
由此猜想：an=2n．
用数学归纳法证明如下：
①当n=1时，有上面的求解知，猜想成立．
②假设n=k（k≥1，k∈N*）时猜想成立，即ak=2k成立，
则当n=k+1时，注意到（n∈N*），
故，．
两式相减，得，所以ak+1=4k+2-ak．
由归纳假设得，ak=2k，故ak+1=4k+2-ak=4k+2-2k=2（k+1）．
这说明n=k+1时，猜想也成立．
由①②知，对一切n∈N*，an=2n成立．
（II）因为an=2n（n∈N*），所以数列{an}依次按1项、2项、3项、4项循环地分为（2），（4，6），（8，10，12），（14，16，18，20）；（22），（24，26），（28，30，32），（34，36，38，40）；（42），．
每一次循环记为一组．由于每一个循环含有4个括号，故b100是第25组中第4个括号内各数之和．由分组规律知，由各组第4个括号中所有第1个数组成的数列是等差数列，且公差为20．
同理，由各组第4个括号中所有第2个数、所有第3个数、所有第4个数分别组成的数列也都是等差数列，且公差均为20．
故各组第4个括号中各数之和构成等差数列，且公差为80．
注意到第一组中第4个括号内各数之和是68，
所以b100=68+24×80=1988．又b5=22，所以b5+b100=2010；
（III）有（I）中知an=2n，∴，
当n=1时，f（1）=2∈[2，3）；
当n≥2时，
显然
而（k≥2）．