Question

如图，点P在椭圆上，F₁、F₂分别是椭圆的左、右焦点，过点P作椭圆右准线的垂线，垂足为M，若四边形PF₁F₂M为菱形，则椭圆的离心率是    ．

Answer

根据题意，四边形PF1F2M为菱形，由菱形的性质，可得PM=PF1=F1F2=2c，再由椭圆的定义可得PF2的长，结合椭圆的第二定义，有=，代入PM与PF2的值，化简可得e2+e-1=0，解可得e的值，根据椭圆的性质，取舍解出的值可得答案．
【解析】
∵四边形PF1F2M为菱形，
∴PM=F1F2=2c，且PM=PF1=2c．
再由椭圆的定义可得PF1+PF2=2a，则PF2=2a-2c．
根据椭圆的第二定义，有=e=，则，
又由c2=a2-ac，则e2+e-1=0，
解可得e=，
又由0＜e＜1，则e==，
故答案为．