Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=n（n+1）（n∈N^*）．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若数列{b_n}满足：，求数列{b_n}的通项公式；
（Ⅲ）令（n∈N^*），求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer

（Ⅰ）当n=1时，a1=S1=2，当n≥2时，an=Sn-Sn-1=n（n+1）-（n-1）n=2n，由此能求出数列{an}的通项公式．
（Ⅱ）由（n≥1），知，所以，由此能求出bn．
（Ⅲ）=n（3n+1）=n•3n+n，所以Tn=c1+c2+c3+…+cn=（1×3+2×32+3×33+…+n×3n）+（1+2+…+n），令Hn=1×3+2×32+3×33+…+n×3n，由错位相减法能求出，由此能求出数列{cn}的前n项和．
【解析】
（Ⅰ）当n=1时，a1=S1=2，
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=n（n+1）-（n-1）n=2n，
知a1=2满足该式，
∴数列{an}的通项公式为an=2n．（2分）
（Ⅱ）∵（n≥1）①
∴②（4分）
②-①得：，
bn+1=2（3n+1+1），
故bn=2（3n+1）（n∈N*）．（6分）
（Ⅲ）=n（3n+1）=n•3n+n，
∴Tn=c1+c2+c3+…+cn=（1×3+2×32+3×33+…+n×3n）+（1+2+…+n）（8分）
令Hn=1×3+2×32+3×33+…+n×3n，①
则3Hn=1×32+2×33+3×34+…+n×3n+1②
①-②得：-2Hn=3+32+33+…+3n-n×3n+1
=
∴，…（10分）
∴数列{cn}的前n项和…（12分）