Question

已知抛物线C：y²=4x，过点A（-1，0）的直线交抛物线C于P、Q两点，设．
（Ⅰ）若点P关于x轴的对称点为M，求证：直线MQ经过抛物线C的焦点F；
（Ⅱ）若λ∈[，]求当|PQ|最大时，直线PQ的方程．

Answer

（Ⅰ）设出P和Q的坐标，根据P和M关于x轴对称表示出M的坐标，利用设出的坐标表示出和，根据，化简即可得到P和Q的横坐标，然后由抛物线的方程找出焦点F的坐标，然后利用M，F和Q的坐标表示出向量，利用刚才化简的式子及求出的横坐标代入即可得到=λ，所以得到直线MQ过F点；
（Ⅱ）由第一问求得的P和Q的横坐标相乘等于1，由y12-y22=16x1x2=16，y1y2＞0，得到y1y2的值，利用两点间的距离公式表示出|PQ|2，然后把P和Q的横坐标及得到的y1y2的值及x1x2的值分别代入得到关于λ的关系式，配方后利用λ的范围求出λ+的范围，即可求出λ+的最大值，让其等于最大值解出此时λ的值，把λ的值代入关于λ的关系式即可求出|PQ|2的最大值，即得到|PQ|最大值，并利用λ的值求出此时P和Q两点的坐标，根据两点的坐标即可写出直线PQ的方程．
【解析】
（Ⅰ）设P（x1，y1），Q（x2，y2），M（x1，-y1）
∵=λ
∴x1+1=λ（x2+1），y1=λy2，∴y12=λ2y22，y12=4x1，y22=4x2，x1=λ2x2
∴λ2x2+1=λ（x2+1），λx2（λ-1）=（λ-1）
∵λ≠1，∴x2=，x1=λ，
由抛物线C：y2=4x，得到F（1，0），
∴=（1-x1，y1）=（1-λ，λy2）=λ（-1，y2）=λ，
∴直线MQ经过抛物线C的焦点F；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知x2=，x1=λ，得x1x2=1，y12-y22=16x1x2=16，y1y2＞0，y1y2=4，
则|PQ|2=（x1-x2）2+（y1-y2）2=x12+x22+y12+y22-2（x1x2+y1y2）=（λ+）2+4（λ+）-12=（λ++2）2-16
λ∈[，]，λ+∈[，]，
当λ+=，即λ=时，|PQ|2有最大值，则|PQ|的最大值为，
此时Q（3，±2），P（，±），
kPQ=±=±，
则直线PQ的方程为：x±2y+=0