Question

设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）是椭圆，（a＞b＞0）上的两点，已知向量=（，），=（，），且，若椭圆的离心率，短轴长为2，O为坐标原点：
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）若直线AB过椭圆的焦点F（0，c），（c为半焦距），求直线AB的斜率k的值；
（Ⅲ）试问：△AOB的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由．

Answer

（Ⅰ）根据题意可求得b，进而根据离心率求得a和c，则椭圆的方程可得．
（Ⅱ）设出直线AB的方程，与椭圆方程联立消去y，表示出x1+x2和x1x2，利用建立方程求得k．
（Ⅲ）先看当直线的斜率不存在时，可推断出x1=x2，y1=-y2，根据=0求得x1和y1的关系式，代入椭圆的方程求得|x1|和|y1|求得三角形的面积；再看当直线斜率存在时，设出直线AB的方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理表示出x1+x2和x1x2，利用=0求得2b2-k2=4，最后利用弦长公式和三角形面积公式求得答案．
【解析】
（Ⅰ）2b=2．b=1，e=
椭圆的方程为
（Ⅱ）由题意，设AB的方程为y=kx+

由已知=0得：
=
，解得k=±
（Ⅲ）（1）当直线AB斜率不存时，即x1=x2，y1=-y2，
由=0
又A（x1，y1）在椭圆上，所以
S=
所以三角形的面积为定值
（2）当直线AB斜率存在时，设AB的方程为y=kx+b
得到x1+x2=
代入整理得：
2b2-k2=4
=
所以三角形的面积为定值