Question

已知函数f（x）的定义域是x≠0的一切实数，对定义域内的任意x₁、x₂，都有f=f（x₁）+f（x₂），且当x＞1时f（x）＞0，f（2）=1，
（1）求证：f（x）是偶函数；
（2）证明f（x）在（0，+∞）上是增函数；

Answer

（1）先令x1=x2=1，得到f（1）=0，再令x1=x2=-1，得f（-1）=0．然后用主条件证明f（-x）=f（-1•x）=f（-1）+f（x）=f（x）得证．（2）先任取两个变量，界定大小，再作差变形看符号．
【解析】
（1）证明：令x1=x2=1，得f（1）=2f（1），
∴f（1）=0．
令x1=x2=-1，得f（-1）=0．
∴f（-x）=f（-1•x）=f（-1）+f（x）=f（x）．
∴f（x）是偶函数．

（2）证明：设x2＞x1＞0，则
f（x2）-f（x1）=f（x1• ）-f（x1）
=f（x1）+f（）-f（x1）=f（ ）．
∵x2＞x1＞0，∴＞1．
∴f（ ）＞0，即f（x2）-f（x1）＞0．
∴f（x2）＞f（x1）．
∴f（x）在（0，+∞）上是增函数．