Question

已知实数列{a_n}是等比数列，其中a₇=1，且a₄，a₅+1，a₆成等差数列．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）数列{a_n}的前n项和记为S_n，证明：S_n＜128（n=1，2，3，…）．

Answer

（Ⅰ）设等比数列{an}的公比为q，根据a7=求得a1和q的关系，进而根据a4，45+1，a5成等差数列．求得q，进而求得a1，则等比数列的饿通项公式可得．
（Ⅱ）根据等比数列的求和公式，求得，根据，进而使原式得证．
【解析】
（Ⅰ）设等比数列{an}的公比为q（q∈R），
由a7=a1q6=1，得a1=q-6，从而a4=a1q3=q-3，a5=a1q4=q-2，a6=a1q5=q-1．
因为a4，a5+1，a6成等差数列，所以a4+a6=2（a5+1），
即q-3+q-1=2（q-2+1），q-1（q-2+1）=2（q-2+1）．
所以．故．
（Ⅱ）．