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已知函数f(x)=ex-ax(e为自然对数的底数) (1)若f(x)≥1在x∈R...

已知函数f(x)=ex-ax(e为自然对数的底数)
(1)若f(x)≥1在x∈R上恒成立,求实数a的值;
(2)若n∈N*,证明:manfen5.com 满分网
(1)若f(x)≥1在x∈R上恒成立,即f(x)的最小值大于等于1,转化为求函数的最小值问题.利用导数求解. (2)函数导数综合题中,不等式的证明可考虑利用前面得到的函数的性质进行. (本小题主要考查函数的导数、最值、等比数列等基础知识,考查分析问题和解决问题的能力、以及创新意识) (1)【解析】 ∵f(x)=ex-x,∴f'(x)=ex-1.令f'(x)=0,得x=0. ∴当x>0时,f'(x)>0,当x<0时,f'(x)<0. ∴函数f(x)=ex-x在区间(-∞,0)上单调递减,在区间(0,+∞)上单调递增. ∴当x=0时,f(x)有最小值1 (2)证明:由(1)知,对任意实数x均有ex-x≥1,即1+x≤ex. 令(n∈N*,k=1,2,,n-1),则, ∴. 即.∵, ∴. ∵, ∴.
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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