Question

如图，四棱锥P-ABCD的侧面PAD垂直于底面ABCD，∠ADC=∠BCD=90°，PA=PD=AD=2BC=2，CD=，M在棱PC上，N是AD的中点，二面角M-BN-C为30°．
（1）求的值；
（2）求直线PB与平面BMN所成角的大小．

Answer

解法一（几何法）：（Ⅰ）作ME∥CD交CD于E，由已知中，∠ADC=∠BCD=90°，PA=PD=AD=2BC=2，N是AD的中点，可得BN⊥AD，结合侧面PAD垂直于底面ABCD，及面面垂直和线面垂直的性质可得BN⊥NE，即∠DNE为二面角M-BN-C的平面角，由二面角M-BN-C为30°，可得∠DNE=30°，可求出DE=DP，进而得到的值；
（2）连接BE，由（Ⅰ）可知PE⊥平面BMN，即∠PBE为直线PB与平面BMN所成的角．连接PN，则PN⊥平面ABCD，从而PN⊥BN，解△PBE可得直线PB与平面MBN所成的角．
解法二（向量法）：（Ⅰ）建立如图所示的坐标系N-xyz，设=λ（λ＞0），则M（，，），求出面MBN的法向量，及面BNC的法向量，由二面角M-BN-C为30°，求出λ值，即可得到的值；
（Ⅱ）由（Ⅰ），=（，0，3）为面MBN的法向量，设直线PB与平面MBN所成的角为θ，求出PB的方向向量，代入线面夹角公式sinθ=，可得直线PB与平面MBN所成的角．
解法一（几何法）：（Ⅰ）作ME∥CD，ME∩PD=E．
∵∠ADC=∠BCD=90°，AD=2BC=2，N是AD的中点，
∴BN⊥AD，
又平面PAD⊥平面ABCD，
∴BN⊥平面PAD，
∴BN⊥NE，
∠DNE为二面角M-BN-C的平面角，
即∠DNE=30°．…（3分）
∵PA=PD=AD，
∴∠PDN=60°，
∴∠DEN=90°，
∴DE=DP，
∴CM=CP，故=3．…（6分）
（Ⅱ）连接BE，由（Ⅰ）的解答可知PE⊥平面BMN，
则∠PBE为直线PB与平面BMN所成的角．
连接PN，则PN⊥平面ABCD，从而PN⊥BN，
∴PB===，…（9分）
又PE=PD=，∴sin∠PBE==．
所以直线PB与平面MBN所成的角为arcsin．…（12分）
解法二（向量法）：
（Ⅰ）建立如图所示的坐标系N-xyz，
其中N（0，0，0），A（1，0，0），B（0，，0），C（-1，，0），D（-1，0，0），
P（0，0，）．
设=λ（λ＞0），则M（，，），
于是=（0，，0），=（，，），…（3分）
设=（x，y，z）为面MBN的法向量，则•=0，•=0，
∴y=0，-λx+λy+z=0，取=（，0，λ），
又=（0，0，1）为面BNC的法向量，由二面角M-BN-C为30°，得
|cos＜，＞|===cos30°=，
解得λ=3，
故=3．…（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ），=（，0，3）为面MBN的法向量，…（8分）
设直线PB与平面MBN所成的角为θ，由=（0，，-），得
sinθ===，
所以直线PB与平面MBN所成的角为arcsin．…（12分）