Question

过曲线上的一点Q（0，2）作曲线的切线，交x轴于点P₁，过P₁作垂直于x轴的直线交曲线于Q₁，过Q₁作曲线的切线，交x轴于点P₂；过P₂作垂直于x轴的直线交曲线于Q₂，过Q₂作曲线的切线，交x轴于点P₃；…如此继续下去得到点列：P₁，P₂，P₃，…P_n，…，设P_n的横坐标为x_n（n∈N^*）
（I）试用n表示x_n；
（II）证明：；
（III）证明：．

Answer

（Ⅰ），所以曲线在处的切线为：，由此能求出xn=2n-1．
（Ⅱ）当n≥3时，有2n＞2n-1+1，所以，则当n≥3时，由此能证明．
（Ⅲ）由，知，由此能够证明．
【解析】
（Ⅰ），-----------（1分）
所以曲线在处的切线为：
-------------（2分）
设直线和x轴交点横坐标xn=2xn-1+1，
即xn+1=2（xn-1+1），另可解x1=1
则xn+1=2n，
∴xn=2n-1…（4分）
（Ⅱ）当n≥3时，有2n＞2n-1+1，
∴----------（5分）
则当n≥3时，
-------------------------（7分）
另…（8分）
（Ⅲ）∵，---------------（9分）
∴，
即，
移项得：------------------（12分）
∴．