Question

如图，在五棱锥S-ABCDE中，SA⊥底面ABCDE，SA=AB=AE=，BC=DE=1，∠BAE=∠BCD=∠CDE=120°．
（1）证明：BC⊥平面SAB；
（2）求二面角B-SC-D的余弦值．

Answer

（1）证明直线与平面垂直，关键要找到两条相交直线与之都垂直，由于△ABE是等腰三角形易得BC⊥BA．由SA⊥底面ABCDE，BC⊂底面ABCDE，得SA⊥BC，又SA∩BA=A，推出BC⊥平面SAB．
（2）以A为原点，AB、AD、AS所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，得到各向量的坐标，然后设出法向量的坐标，利用数量积为0 解得其法向量，利用公式可解得二面角B-SC-D的余弦值为
（1）证明：由题意，△ABE是等腰三角形，∠BAE=120°，所以∠ABE=30°．
又∠CBE=60°，∴∠ABC=90°，所以BC⊥BA．
∵SA⊥底面ABCDE，BC⊂底面ABCDE，
∴SA⊥BC，又SA∩BA=A，∴BC⊥平面SAB．（5分）
（2）【解析】
由（1）得∠EAD=30°故∠BAD=90°，
以A为原点，AB、AD、AS所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系（如图），

则，
设平面SBC的法向量为，设平面SCD的法向量为
由⇒
令z=1，则，同理可求，
∴，
∴二面角B-SC-D的余弦值为．（13分）