Question

已知F₁，F₂分别是椭圆（a＞b＞0）的左、右焦点，半焦距为c，直线x=-与x轴的交点为N，满足，设A、B是上半椭圆上满足的两点，其中．
（1）求椭圆的方程及直线AB的斜率k的取值范围；
（2）过A、B两点分别作椭圆的切线，两切线相交于一点P，试问：点P是否恒在某定直线上运动，请说明理由．

Answer

（1）依据题意联立方程求得a，b，则拖得方程可得．根据判断出A，B，N三点共线，进而设出直线AB的方程，与椭圆的方程联立消去x，根据判别式大于0求得k的范围，设A（x1，y1），B（x2，y2），则根据韦达定理，可表示出y1+y2和y1y2，利用求得（x1+2，y1）=λ（x2+2，y2），联立方程组消去y2，求得λ和k的关系，令进而进行求导，推断函数的单调性，根据λ的范围求得k的范围．
（2）设出P的坐标，进而求得PA的方程，把点A代入，同时代入椭圆的方程，推断出直线AB的方程，根据其过定点求得x，进而推断出点P恒在直线x=-1上运动．
【解析】
（1）由于，
∴
解得a2=2，b2=1，从而所求椭圆的方程为=1．
∵三点共线，而点N的坐标为（-2，0）．
设直线AB的方程为y=k（x+2），其中k为直线AB的斜率，依条件知k≠0．
由消去x得，即．
根据条件可知解得，依题意取．
设A（x1，y1），B（x2，y2），则根据韦达定理，得，
又由，得（x1+2，y1）=λ（x2+2，y2）
，∴从而
从而消去y2得．
令，则．
由于，所以φ'（λ）＜0．
∴φ（λ）是区间上的减函数，从而，
即，∴，解得，而，∴．
故直线AB的斜率的取值范围是．
（2）设点P的坐标为（x，y），则可得切线PA的方程是，
而点A（x1，y1）在此切线上，有即xx1+2yy1=x12+2y12，
又∵A在椭圆上，∴有xx1+2yy=2，①同理可得xx2+2yy2=2．②
根据①和②可知直线AB的方程为，xx+2yy=2，而直线AB过定点N（-2，0），∴-2x=2⇒x=-1，
因此，点P恒在直线x=-1上运动．