Question

已知圆M：（x+）²+y²=的圆心为M，圆N：（x-）²+y²=的圆心为N，一动圆与圆M内切，与圆N外切．
（Ⅰ）求动圆圆心P的轨迹方程；
（Ⅱ）在（Ⅰ）所求轨迹上是否存在一点Q，使得∠MQN为钝角？若存在，求出点Q横坐标的取值范围；若不存在，说明理由．

Answer

（I）根据动圆与圆M内切，与圆N外切，得出则，从而有根据|PM|+|PN|=4＞|MN|，椭圆的定义可得P点的轨迹是以M，N为焦点的椭圆，求出a、b的值，即得椭圆的标准方程．
（II）先假设存在一点Q，并设Q（x，y），从而得出，然后与椭圆方程联立并化简得出，即可得出结果．
【解析】
（Ⅰ）设动圆P的半径为r，则
两式相加得|PM|+|PN|=4＞|MN|
由椭圆定义知，点P的轨迹是以M、N为焦点，焦距为，实轴长为4的椭圆
其方程为…（6分）
（Ⅱ）假设存在，设Q（x，y）．则因为∠MQN为钝角，所以，，
又因为Q点在椭圆上，所以
联立两式得：化简得：，
解得：，所以存在．…（13分）