Question

某设计部门承接一产品包装盒的设计（如图所示），客户除了要求AB、BE边的长分别为20cm和30cm外，还特别要求包装盒必需满足：①平面ADE⊥平面ADC；②平面ADE与平面ABC所成的二面角不小于60°；③包装盒的体积尽可能大．若设计部门设计出的样品满足：∠ACB与∠ACD均为直角且AB长20cm，矩形DCBE的一边长为30cm，请你判断该包装盒的设计是否能符合客户的要求？说明理由．

Answer

该包装盒的样品设计符合客户的要求，先证明满足条件①的要求，根据已知条件可证DE⊥面ADC，从而证得面ADE⊥面ADC，再证明满足条件②、③的要求，根据矩形DCBE的一边长为30cm，而直角三角形ABC的斜边AB长为20cm，则BE=30，设BC=t，则，以C为原点，CA、CB、CD分别为x、y、z轴的正半轴建立空间直角坐标系C-xyz，求出面ADE的一个法向量为n1，而面ABC的一个法向量为n2=（0，0，1），设面ADE与面ABC所成的二面角为θ，则，求出t的范围确保面ADE与面ABC所成的二面角不小于60°，然后表示四棱锥A-BCDE的体积，利用基本不等式求出取最值时的t，看是否满足条件即可．
【解析】
该包装盒的样品设计符合客户的要求．
以下证明满足条件①的要求．
∵四边形DCBE为矩形，∠ACB与∠ACD均为直角，
∴CB⊥AC且CB⊥DC∴CB⊥面ADC，
在矩形DCBE中，DE∥CB
∴DE⊥面ADC∴面ADE⊥面ADC…（3分）
以下证明满足条件②、③的要求．
∵矩形DCBE的一边长为30cm，
而直角三角形ABC的斜边AB长为20cm，∴BE=30
设BC=t，则，
以C为原点，CA、CB、CD分别为x、y、z轴的正半轴建立空间直角坐标系C-xyz，
则，B（0，t，0），D（0，0，30），E（0，t，30），
设面ADE的一个法向量为n1=（x，y，z），，
∵
∴，取x=1，则…（6分）
而面ABC的一个法向量为n2=（0，0，1），
设面ADE与面ABC所成的二面角为θ，则，
∴，∴t≥10，
即当t≥10时，面ADE与面ABC所成的二面角不小于60°．…（8分）
又，由∠ACB与∠ACD均为直角知，AC⊥面DCBE，该包装盒可视为四棱锥A-BCDE，

当且仅当t2=400-t2，即时，VA-BCDE的体积最大，最大值为2000cm3．…（12分）
而，可以满足面ADE与面ABC所成的二面角不小于60°的要求，
综上，该包装盒的设计符合客户的要求．            …（13分）