Question

双曲线x²-y²=2的左右焦点分别为F₁，F₂，点P_n（x_n，y_n）（n∈N^*）在其右支上，且满足||=||，•=0，则x₂₀₁₀=    ．

Answer

由题意，知e=，|PnF1|=|+|=+，|Pn+1F2|=|-|=-，xn+1=xn+2，又P1F2⊥F1F2，求出x1，由此根据等差数列的通项公式能求出x2010．
【解析】
依题意，双曲线x2-y2=2，
∴a=b=，c=2，
它的离心率：e=，准线方程为：x=±1．焦点坐标（±2，0）．
设点Pn到左准线的距离为d，
根据双曲线的第二定义得：
||=d×e，
∴||=|+|=+，
同理：||=|-|=-，
因为||=||，
所以xn+1=xn+2，数列{xn}构成一个等差数列，
又•=0，∴P1F2⊥F1F2，
∴x1=c=2，
∴xn=2n，
∴x2010=4020．
故答案为4020．