Question

已知函数f（x）=a_n-1x²+（1-a_n）x+a_n-1，（x＞0，n≥2）
（1）若f（1）=0，a₁=1，求数列{a_n}的通项公式
（2）若a_n＞1，（n∈N^*），至少存在一个正数x，使f（x）≤0成立，
求证：…（n∈N^*）

Answer

（1）根据f（1）=0，a1=1，可得an=2an-1+1，变形得an+1=2（an-1+1），从而求出数列{an}的通项公式；
（2）由韦达定理分析易知，方程f（x）=0有根则必有正根，从而只需△≥0即可，然后利用等比数列求和公式可得……，证得结论．
【解析】
（1）f（1）=an-1+1-an+an-1=0⇒an=2an-1+1⇒an+1=2（an-1+1）
∴an+1=2n⇒an=2n-1，（n∈N*）
证明：（2）由韦达定理分析易知，方程f（x）=0有根则必有正根，∴只需△≥0即可
∴…
∴……