Question

已知二次函数f（x）=ax²+x（a∈R，a≠0）．
（I）当0＜a＜，x∈[-1，1]时，f（x）的最小值为，求实数a的值．
（II）如果x∈[0，1]时，总有|f（x）|≤1．试求a的取值范围．
（III）令a=1，当x∈[n，n+1]（n∈N^*）时，f（x）的所有整数值的个数为g（n），数列的前n项的和为T_n，求证：T_n＜7．

Answer

（I）找出二次函数的对称轴，利用对称轴和区间的关系以及最小值就可求出实数a的值；
（II）转化为关于a的不等式，借助于关于x的函数的最值来求a的取值范围即可．
（III）先利用二次函数的性质求出在[n，n+1]上的单调性，进而求出g（n），以及数列的表达式，再利用错位相减法求和．即可证得Tn＜7．
【解析】
（1）由知，
故当x=-1时f（x）取得最小值为，
即，∴
（2）由|f（x）|≤1得|ax2+x|≤1，
-1≤ax2+x≤1对于任意x∈[0，1]恒成立，
当x=0时，f（x）=0，则|f（x）|≤1恒成立；
当x≠0时，有
对于任意的x∈（0，1]恒成立；∵，
则，故要使①式恒成立，
则有a≤0，又a≠0∴a＜0；又，
则有a≥-2，
综上所述：-2≤a＜0．
（3）当a=1时，f（x）=ax2+x，则此二次函数的对称轴为，开口向上，
故f（x）在[n，n+1]上为单调递增函数，
且当x=n，n+1时，f（n），f（n+1）均为整数，
故g（n）=f（n+1）-f（n）+1=（n+1）2+（n+1）-n2-n+1=2n+3（n∈N*），
则数列的通项公式为，
故①
又②
由①-②得
∴，
∴Tn＜7．