Question

已知f（x）=（x³+bx²+cx+d）•e^x，且f（0）=4-5b，x=1为f（x）的极值点，g（x）=（2x+2）•e^-2x．
（I）若f（x）在（2，+∞）上递增，求b的取值范围；
（II）对任意x₁∈[0，1]，存在x₂使得f（x₁）=g（x₂）成立，求b的取值范围．

Answer

（I）将x=0代入已知等式列出方程得到b，c的关系，求出f（x）的导函数，令x=1时导函数为0，得到b，c 的关系，代入f（x）的导函数，令导函数大于等于0在（2，+∞）上恒成立求出b的范围．
（II）求出g（x）的导函数，得到g（x）的单调性，求出g（x）的值域，通过对b的分类讨论求出f（x）的最大值，令f（x）的最大值属于g（x）的值域，列出不等式求出b的范围．
【解析】
（I）由f（0）=4-5b得d=4-5b，
又f′（x）=[x3+（b+3）x2+（c+2b）x+c+d]ex
∵x=1为f（x）的极值点
∴f′（1）=0
得c=b-4
f（x）=[x3+bx2+（b-4）x+4-5b]•ex，
f′（x）=（x+b）（x2+3x-4）ex≥0，∀x∈（2，+∞）恒成立，
b≥-2
（II）由g′（x）=e-2x（-4x-2）得，g（x）在上递增，在上递减．
故g（x）的值域为（-∞，e]，
f′（x）=（x+b）（x2+3x-4）ex=（x+b）（x+4）（x-1）ex
①当-b≥1即b≤-1时，f（x）在[0，1]上递增
所以f（x）的值域为[4-5b，1-3b]
∵对任意x1∈[0，1]，存在x2使得f（x1）=g（x2）成立
∴1-3b≤e
此时无解
②当0≤-b≤1即-1≤b≤0时，f（x）在[0，-b]上递增，在[-b，1]上递减
∴当x=-b时，f（x）有最大值为f（-b）=e-b（-b2-b+4）
∵对任意x1∈[0，1]，存在x2使得f（x1）=g（x2）成立
∴e-b（-b2-b+4）≤e
解得不存在b
③当b＞0时
f（x）在[0，1]上递减
∴f（x）的值域为[1-3b，4-5b]
∵对任意x1∈[0，1]，存在x2使得f（x1）=g（x2）成立
∴4-5b≤e
解得