Question

已知命题p：∀x∈R，cos2x+sinx+a≥0，命题q：∃x∈R，ax²-2x+a＜0，命题p∨q为真，命题p∧q为假．求实数a的取值范围．

Answer

通过分离参数求函数的最大值化简命题p；通过对二次项系数的讨论求出a的范围化简命题q；
据复合命题的真假得出命题p，q的真假，求出a的范围．
【解析】
由命题p得，
因为sinx∈[-1，1]，
所以当sinx=-1时，（2sin2x-sinx-1）max=2，
所以命题p：a≥2
由命题q得：当a≤0时显然成立；
当a＞0时，需满足△=4-4a2＞0，解得0＜a＜1
所以命题q：a＜1
因为命题p∨q为真，命题p∧q为假，所以命题p和q一真一假
若命题p真q假，则a≥2；若命题p假q真，则a＜1
综上，实数a的取值范围是（-∞，1）∪[2，+∞）