Question

如图（1）是一正方体的表面展开图，MN和PB是两条对角线，请在图（2）的正方体中将MN和PB画出来，并就这个正方体解决下面问题．
（1）求证：MN∥平面PBD；
（2）求证：AQ⊥平面PBD；
（3）求二面角P-DB-M的大小．

Answer

（1）先将展开图进行还原，欲证MN∥平面PBD，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证MN与平面PBD内一直线平行，根据四边形NDBM为平行四边形，则MN∥DB，而BD⊆平面PBD，MN⊄平面PBD，满足定理所需条件；
（2）欲证AQ⊥面PDB，根据直线与平面垂直的判定定理可知只需证AQ与面PDB内两相交直线垂直，根据线面垂直的性质可知AQ⊥BD，同理可得AQ⊥PB，BD∩PD=B，满足定理所需条件；
（3）分别取DB、MN中点E、F连接PE、EF、PF，根据二面角平面角的定义可知∠PEF为二面角P-DB-M为平面角，在直角三角形EFP中求出此角即可．
【解析】
M、N、Q、B的位置如图示．
（1）∵ND∥MB且ND=MB
∴四边形NDBM为平行四边形
∴MN∥DB（3分）
∴BD⊆平面PBD，MN⊄平面PBD
∴MN∥平面PBD（4分）
（2）∵QC⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，
∴BD⊥QC（5分）
又∵BD⊥AC，
∴BD⊥平面AQC（6分）
∵AQ⊂面AQC
∴AQ⊥BD，同理可得AQ⊥PB，
∵BD∩PB=B
∴AQ⊥面PDB（8分）
（3）【解析】
分别取DB、MN中点E、F连接PE、EF、PF（9分）
∵在正方体中，PB=PB
∴PE⊥DB（10分）
∵四边形NDBM为矩形
∴EF⊥DB
∴∠PEF为二面角P-DB-M为平面角（11分）
∵EF⊥平面PMN
∴EF⊥PF
设正方体的棱长为a，则在直角三角形EFP中
∵EF=a，PF=
∴tan∠PEF=
∠PEF=arctan（13分）