Question

已知椭圆的右焦点F与抛物线y²=4x的焦点重合，短轴长为2．椭圆的右准线l与x轴交于E，过右焦点F的直线与椭圆相交于A、B两点，点C在右准线l上，BC∥x轴．
（1）求椭圆的标准方程，并指出其离心率；
（2）求证：线段EF被直线AC平分．

Answer

（1）先设出椭圆的标准方程，根据抛物线的方程求得其焦点坐标，进而求得椭圆的c，短半轴b求得a，则椭圆的方程和离心率可得．
（2）根据（1）中的椭圆方程求得其准线l的方程，求得点E的坐标，设EF的中点为M，则M的坐标可得，先看当AB垂直于x轴，则设出点A，B，C的坐标，求得AC中点的坐标，判断出线段EF的中点与AC的中点重合；再看AB不垂直于x轴，则可设直线AB的方程与椭圆方程联立消去y，根据韦达定理表示出x1+x2和x1x2的表达式，可表示出AM和CM的斜率，求得二者相等，进而推断出A、M、C三点共线，即AC过EF的中点M，最后综合证明题设．
【解析】
（1）由题意，可设椭圆的标准方程为（a＞b＞0）
∵y2=4x的焦点为F（1，0）
∴c=1，又2b=2，
∴b=1，a2=b2+c2=2，
所以，椭圆的标准方程为
其离心率为e=
（2）证明：∵椭圆的右准线1的方程为：x=2，
∴点E的坐标为（2，0）设EF的中点为M，则M（，0）
若AB垂直于x轴，则A（1，y1），B（1，-y1），C（2，-y1）
∴AC的中点为N（，0）
∴线段EF的中点与AC的中点重合，
∴线段EF被直线AC平分，
若AB不垂直于x轴，则可设直线AB的方程为
y=k（x-1），k≠0，A（x1，y1），B（x2，y2）
则C（2，-y2）
把y=k（x-1）代入
得（1+2k2）x2-4k2x+2（k2-1）=0
则有x1+x2=，x1x2=
∴kAM=
=，kCM=，
∵kAM-kCM=
=
∴kAM=kCM
∴A、M、C三点共线，即AC过EF的中点M，
∴线段EF被直线AC平分．